Question

4．如图，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB．设直线BD、AB的斜率分别为k₁、k₂，若$\frac{k_1}{k_2}=\frac{3}{4}$，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），运用直线的斜率公式，由两直线垂直的条件，可得AD的斜率，设直线AD的方程为y=kx+m（k、m≠0），代入椭圆方程，由韦达定理，结合直线的斜率公式可得BD的斜率，进而得到$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，则椭圆离心率可求．

解答 解：设A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），
∵k_AB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，AD⊥AB，∴直线AD的斜率k=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
设直线AD的方程为y=kx+m（k、m≠0），代入椭圆方程，
消去y整理得：（b²+a²k²）x²+2ma²k²x+a²m²-a²b²=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2m{a}^{2}{k}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
由题可知：x₁≠-x₂，∴k₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=-\frac{{b}^{2}}{k{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}•{k}_{2}$，
即有$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，得e=$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题是直线与椭圆的综合题，考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．