Question

已知函数f（x）=ax³lnx+bx³+c在x=1处取得极值4+c．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）≤3c²对?x∈（0，+∞）恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）因为x=1时函数取得极值得f（x）=4+c求出b，然后令导函数等于求出a即可；
（2）不等式f（x）≤3c²对?x∈（0，+∞）恒成立即f（x）的极大值小于等于3c²，求出c的解集即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³lnx+bx³+c，
∴x＞0，f′（x）=x²（3alnx+a+3b），
∵函数f（x）=ax³lnx+bx³+c在x=1处取得极值4+c，
∴

f(1)=4+c f′(1)=0

，

b+c=4+c a+3b=0

，解得a=-12，b=4．
（2）由（1）知f（x）=-12ax³lnx+4x³+c，
f′（x）=-36x²lnx，令f′（x）=0，解得x=1
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）为增函数；
当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）为减函数
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），而f（x）的单调递减区间为（1，+∞），
f（x）在x=1处取得极大值f（1）=4+c，此极大值也是最大值，
不等式f（x）≤3c²对?x∈（0，+∞）恒成立，只需4+c≤3c²，
解得-1≤c≤

4

3

．
∴实数c的取值范围是[-1，

4

3

]．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，函数恒成立时条件的应用能力．