Question

△ABC中，a=4，b=5，cos（B-A）=

31

32

，则S_△ABC=（　　）

• A．6
• B．10
• C．

  15 7

  4

• D．

  25

  3

Answer 1

分析：A＜B． 作∠ABD=A，交边AC于点D，在△ADC中，由余弦定理求得BD=x=4，在△ADC中，由余弦定理求得cosC=

1

8

，可得 sinC 的值，再根据S_△ABC=

1

2

•a•b•sinC，运算求得结果．

解答：解：∵a=4，b=5，∴A＜B． 作∠ABD=A，交边AC于点D．  设BD=x，则AD=x，DC=5-x．
在△ADC中，注意cos∠DBC=cos（B-A）=

31

32

，由余弦定理得：（5-x）²=x²+16-8x•cos（B-A），
解得 x=4．
∴在△ADC中，BD=AC=4，CD=1，由余弦定理得：BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cosC，
即 16=16+1-8cosC，解得 cosC=

1

8

，∴sinC=

3 7

8

．
∴S_△ABC=

1

2

•a•b•sinC=

1

2

×4×5×

3 7

8

=

15 7

4

，
故选C．

点评：本题主要考查余弦定理、同角三角函数的基本关系，求出cosC=

1

8

，是解题的关键，属于中档题．