Question

已知点A（-2，0），B（1，0），平面内的动点P满足|PA|=λ|PB|（λ为常数，λ＞0）．
（1）求点P的轨迹E的方程，并指出其表示的曲线的形状．
（2）当λ=2时，P的轨迹E与x轴交于C、D两点，M是轨迹上异于C、D的任意一点，直线l：x=-3，直线CM与直线l交于点C′，直线DM与直线l交于点D'．求证：以C′D′为直径的圆总过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

考点：轨迹方程,圆系方程

专题：直线与圆

分析：（1）设出动点P的坐标，由|PA|=λ|PB|得到关于动点P的横纵坐标的函数关系式，然后分λ=1和λ≠1讨论轨迹E所表示的曲线；
（2）把λ=2代入（1）中所求的轨迹方程，求出曲线与x轴的交点，设出M的坐标，分别写出直线CM和DM的方程，和直线x=-3联立后求出以C′，D′的坐标，得到以C′D′为直径的圆的方程，取y=0得到具体的x的值，从而得到以C′D′为直径的圆总过定点，并得到定点的坐标．

解答： 解：（1）设点P（x，y），由|PA|=λ|PB|得：

(x+2)2+y2

=λ

(x-1)2+y2

变形整理得：（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+（4+2λ²）x+4-λ²=0
当λ=1时，化为x=-

1

2

，此时轨迹E所表示的曲线为直线．
当λ≠1时，化为(x+

λ2+2

1-λ2

)2+y2=

9λ2

(1-λ2)2

．
此时轨迹E所表示的曲线是以(-

λ2+2

1-λ2

，0)为圆心，半径为|

3λ

1-λ2

|的圆；
（2）λ=2时，方程(x+

λ2+2

1-λ2

)2+y2=

9λ2

(1-λ2)2

化为x²-4x+y²=0，
P的轨迹方程为x²-4x+y²=0，此时C（0，0）、D（4，0），设M（x₀，y₀），
则直线CM的方程为：y=

y0

x0

x．
联立方程

x=-3 y= y0 x0 x

，得C′(-3，

-3y0

x0

)，
直线DM的方程为：y=

y0

x0-4

(x-4)．
联立方程

x=-3 y= y0 x0-4 (x-4)

，D′(-3，

-7y0

x0-4

)．
∴以C'D'为直径的圆的方程为(x+3)2+(y+

3y0

x0

)(y+

7y0

x0-4

)=0，
又

y

2 0

=4x0-

x

2 0

，整理得：(x+3)2+y2-21+

10x0-12

y0

y=0．
令y=0，则有（x+3）²-21=0，解得x=-3±

21

∴以C'D'为直径的圆总过定点，且定点坐标为（-3±

21

，0）．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了圆系方程的求法，考查了学生的计算能力，是中高档题．