Question

下列命题正确的是

 

．（写出所有正确命题的序号）
①函数f(x)=cos2x-2

3

sinxcosx在区间[-

π

6

，

π

3

]上是单调递增的；
②在△ABC中，BC=1，B=60°，当△ABC的面积为

3

时，AB=4；
③若

a

为非零向量，且

a

•

b

=0，则满足条件的向量

b

有无数个；
④已知

π

2

＜α＜β＜π，且sinα=

5

5

，sinβ=

10

10

，则α+β=

5π

4

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：①化简函数f（x），然后求出余弦型函数的增区间，从而判断出命题①错误；
②把BC=1，B=60°代入三角形的面积公式求得AB的值判断命题②；
③由向量数量积为0的条件判断；
④利用给出的三角函数值，直接求出α+β的值判断命题④．

解答： 解：对于①，f(x)=cos2x-2

3

sinxcosx
=cos2x-

3

sin2x=2(

1

2

cos2x-

3

2

sin2x)
=2cos(2x+

π

3

)．
由-π+2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ，k∈Z，得
-

2π

3

+kπ≤x≤-

π

6

+kπ，k∈Z．
取k=1，得

π

3

≤x≤

5π

6

．
∴函数f(x)=cos2x-2

3

sinxcosx在区间[-

π

6

，

π

3

]上不是单调递增的．命题①错误；
对于②，由S△ABC=

1

2

•AB•BCsinB=

1

2

•1•AB•sin60°=

1

2

×

3

2

AB=

3

，
∴AB=4．命题②正确；
对于③，∵

a

为非零向量，则零向量及与

a

垂直的非零向量均满足

a

•

b

=0，
∴命题③正确；
对于④，∵

π

2

＜α＜β＜π，且sinα=

5

5

，sinβ=

10

10

，
∴cosα=-

1-sin2α

=-

1-( 5 5 )2

=-

2 5

5

，
cosβ=-

1-sin2β

=-

1-( 10 10 )2

=-

3 10

10

．
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=-

2 5

5

×(-

3 10

10

)-

5

5

×

10

10

=

2

2

．
又π＜α+β＜2π，
∴α+β=

7π

4

．命题④错误．
∴正确的命题是②③．
故答案为：②③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查三角函数的单调性、解三角形及已知三角函数值求角等问题，是中档题．