Question

已知函数
(1)求的值域；
(2)设，函数．若对任意，总存在，使，求实数的取值范围．

Answer 1

(1)  ；(2)

解析试题分析：（1）求出的导函数，令导函数等于求出 的值，然后由的值，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值和最小值即可得到的值域；（2）设函数在[0，2]上的值域是A，根据题意对任意，总存在，使，得到区间是A的子集，求出的导函数，分小于0和大于0两种情况讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值和最小值，即可得到函数在相应区间的值域，根据区间[0，2]是A的子集判断出符合这一条件的情况，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意的取值范围．
试题解析：（1），令，得或．         
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
而，当时，的值域是． 
(2)设函数在上的值域是A，
若对任意．总存在1,使，．                             
．
①当时，，函数在上单调递减．        ，当时，不满足；
②当时，，令，得或(舍去)   
（i）时，的变化如下表：

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