题目内容

已知的一个极值点.
(Ⅰ) 求的值;  
(Ⅱ) 求函数的单调递减区间;
(Ⅲ)设,试问过点可作多少条直线与曲线相切?请说明理由.

(Ⅰ)3;(Ⅱ);(Ⅲ)2条.

解析试题分析:(Ⅰ)先对原函数求导,则,即得的值;(Ⅱ)求当时的的取值范围,就得函数的单调减区间;(Ⅲ)易知,设过点(2,5)与曲线相切的切点为
所以,令,利用导数求函数的单调区间及极值,可得轴的交点个数,从而得结论.
试题解析:(I)因为的一个极值点,所
经检验,适合题意,所以.                                  3分
(II)定义域为
所以函数的单调递减区间为                                              6分
(III),设过点(2,5)与曲线相切的切点为
所以               9分
,所上单调递减,在上单调递增,
因为,所以与x轴有两个交点,
所以过点可作2条直线与曲线相切.                                            12分
考点:1、利用导数求函数的极值和单调性;2、导数与基本函数的综合应用.

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