Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0），b＞0的离心率是

2 3

3

，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A、B两点，且斜率分别为k₁、k₂，若点A、B关于原点对称，则k₁•k₂的值为（　　）

• A．-

  1

  3

• B．-

  2

  3

• C．

  1

  3

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：设出M、N、P，表示出k₁•k₂，M、N、P代入双曲线方程并化简，代入双曲线的离心率乘积，求出k₁•k₂的值．

解答：解：设M（p，q），N（-p，-q），P（s，t），
则有k₁•k₂=

t-q

s-p

•

t+q

s+p

=

t2-q2

s2-p2

，

p2

a2

-

q2

b2

=1，

s2

a2

-

t2

b2

=1，
两式相等得：

p2

a2

-

q2

b2

=

s2

a2

-

t2

b2

，
即

t2-q2

b2

=

s2-p2

a2

，

t2-q2

s2-p2

=

b2

a2

，
k₁•k₂=

t2-q2

s2-p2

=

b2

a2

=

c2-a2

a2

=(

2 3

3

)2-1=

1

3

．
故选C．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，化简得到 K₁•K₂是解题的关键．