Question

5．已知函数f（x）定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e^x（x+1），给出下列命题：
①当x＞0时，f（x）=e^x（1-x）；
②函数f（x）有2个零点；
③f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据f（x）为奇函数，可设x＞0，从而有-x＜0，从而可求出f（x）=e^-x（x-1），从而可看出-1，1，0都是f（x）的零点，这便得出①②错误，而由f（x）解析式便可解出f（x）＞0的解集，从而判断出③的正误．

解答 解：①f（x）为R上的奇函数，设x＞0，-x＜0，则：f（-x）=e^-x（-x+1）=-f（x）；
∴f（x）=e^-x（x-1）；
∴该命题错误；
②∵f（-1）=0，f（1）=0；
又f（0）=0；
∴f（x）有3个零点；
∴该命题错误；
③（1）x＜0时，f（x）=e^x（x+1）；
∴-1＜x＜0时，f（x）＞0；
（2）x＞0时，f（x）=e^-x（x-1）；
∴x＞1时，f（x）＞0；
∴f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）；
∴该命题正确；
∴正确的命题为③．
故选：B．

点评 本题考查函数的解析式的求法，函数的零点的求法函数的导数求解函数的最值，不等式的解法，考查基本知识的综合应用．