Question

7．已知抛物线Γ：y=x²及抛物线Γ上的一点A（2，4）．
（1）求抛物线Γ在点A处的切线l的方程；
（2）求抛物线Γ及切线l与x轴所围成图形的面积．

Answer 1

分析 （1）求导数，可得切线斜率，从而可得该抛物线在点A处的切线l的方程；
（2）利用定积分可求曲线C、直线l和x轴所围成的图形的面积．

解答 解：（1）k_切=y'|_x=2=2x|_x=2=4，…（2分）
切点A（2，4），所以切线l的方程为y-4=4（x-2）
即y=4x-4…（4分）
（2）令y=0，则x=1，所以切线与x轴的交点为B（1，0）…（5分）
所以$S=\int_0^1{x^2}dx+\int_1^2{（{x^2}}-4x+4）dx$…（7分）
=$\left.{\frac{1}{3}{x^3}}\right|_0^1+（\left.{\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+4x）}\right|_1^2$…（8分）
=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$…（10分）

点评 本题考查导数的几何意义，考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于中档题．