Question

【题目】已知函数f（x）= （x＞0），m∈R．
（1）若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在点（1，f（x））处的切线的斜率为 ，且函数f（x）的最大值为M，求证：1＜M＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：若函数f（x）有零点，

则f（x）=0有解，

即m +lnx=0有解，

即有﹣m= ，

由g（x）= 的导数为g′（x）= ，

当x＞e2时，g′（x）＜0，g（x）递减；

当0＜x＜e2时，g′（x）＞0，g（x）递增．

可得g（x）在x=e2时，取得极大值，且为最大值 ，

可得﹣m＞ ，解得m＜﹣ ，

则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣ ）

（2）证明：函数f（x）= （x＞0）的导数为f′（x）= ，

可得f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1﹣ = ，

解得m=1，

即有f（x）= 的导数为f′（x）= ，

令f′（x）=0，可得lnx+ =1，

设方程的解为t，由h（x）=lnx+ ﹣1递增，且h（1）﹣1=﹣ ＜0，h（ ）=ln + ﹣1＞0，

可得1＜t＜ ，且lnt+ =1，

即有f（x）的最大值为f（t）= =

= + =（ + ）2﹣ ，

可得f（t）在（1， ）递减，

f（1）= ，f（ ）= + ＞1，

即有f（t）∈（f（ ），f（1）），

则有1＜M＜

【解析】（1）由题意可得f（x）=0有解，即m +lnx=0有解，即有﹣m= ，设g（x）= ，求得导数和单调区间，可得极大值，且为最大值，即可得到m的范围；（2）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，可得m=1，再令f′（x）=0，设出极大值点，也即最大值点，运用函数零点存在定理，可得t的范围，化简整理由二次函数的单调性，即可得证．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．