Question

【题目】如图，在几何体ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ= AB．
（1）证明：平面APD⊥平面BDP；
（2）求二面角A﹣BP﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AB中点E，连结PE，

∵AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，设CD=AD=AQ=PQ= AB=1．

∴PB⊥AD，PE=1，且PE⊥AB，

∴AP=PB= = ，

∴AP2+BP2=AB2，∴AP⊥BP，

∵AD∩AP=A，∴PB⊥平面APD，

∵PB平面BDP，∴平面APD⊥平面BDP

（2）解：以A为原点，AQ为x轴，AB为y轴，AD为z轴，

建立空间直角坐标系，

则P（1，1，0），B（0，2，0），C（0，1，1），

=（1，﹣1，0）， =（0，﹣1，1），

设平面BPC的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，1，1），

平面ABP的法向量 =（0，0，1），

设二面角A﹣BP﹣C的平面角为θ，

则cosθ= = ，

∴sinθ= = ．

∴二面角A﹣BP﹣C的正弦值为 ．

【解析】（1）取AB中点E，连结PE，推导出PE⊥AB，AP⊥BP，从而PB⊥平面APD，由此能证明平面APD⊥平面BDP．（2）以A为原点，AQ为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BP﹣C的正弦值．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．