Question

【题目】已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点Q（a，2）到焦点的距离为3，线段AB的两端点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）在抛物线C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若y轴上存在一点M（0，m）（m＞0），使线段AB经过点M时，以AB为直径的圆经过原点，求m的值；
（3）在抛物线C上存在点D（x3 ， y3），满足x3＜x1＜x2 ， 若△ABD是以角A为直角的等腰直角三角形，求△ABD面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设抛物线的C方程x2=2py（p＞0），则焦点F（0， ），准线方程：y=﹣ ，

过点Q向准线l作垂线，垂足为Q1，

由抛物线的定义可得：丨QF丨=丨QQ1丨，

∴2﹣（﹣ ）=3，p=2，

∴抛物线方程：x2=4y

（2）解：设直线AB的方程：y=kx+m，则 ，整理得：x2﹣4kx﹣4m=0，

则x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，

由AB为直径的圆经过原点，则 ⊥ ， =0，

则x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0

∴（1+k2）×（﹣4m）+km×4k+m2=0，整理得m2﹣4m=0，解得：m=4或m=0，

由m＞0，则m=4，

∴m的值4

（3）解：设直线AB的斜率为k，k＞0，其方程y﹣y1=k（x﹣x1），即y=kx+y1﹣kx1，

∴ ，整理得：x2﹣4kx+4kx1﹣4y1=0，

∴x1+x2=4k，x2=﹣x1+4k，

丨AB丨2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]，

=（1+k2）[（4k）2﹣4x1（﹣x1+4k）]，

=4（1+k2）（x12﹣4kx1+4k2），

同理丨AD丨=4[1+（﹣ ）2][x12﹣4（﹣ ）x1+4（﹣ ）2]，

=4（1+ ）（x12+ x1+ ），

由丨AB丨=丨AD丨，则丨AB丨2=丨AD丨2，4（1+k2）（x12﹣4kx1+4k2），=4（1+ ）（x12+ x1+ ），

整理得：x1= =k﹣ ，

则丨AB丨2=4（1+k2）[（k﹣ ）2﹣4k（k﹣ ）+4k2]=4（1+k2）（k+ ）2，丨AB丨=2 （k+ ），

丨AD丨2=4（1+ ）[（k﹣ ）2+ （k﹣ ）+ ]4（1+ ）（k+ ）2，丨AD丨=2 （k+ ），

∴△ABD面积S= ×丨AB丨×丨AD丨= ×2 （k+ ）×2 （k+ ），

= =2（k+ ）3≥2（2 ）3=16，

当且仅当k= 时，即k2=1，即k=1，取等号，

∴△ABD面积的最小值16

【解析】（1）根据抛物线的定义，丨QF丨=丨QQ1丨，即可求得p的值，即可求得抛物线方程；（2）设AB的方程，代入椭圆方程，由 =0，根据向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得m的值；（3）由直线的点斜式方程，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，即可求得x2=﹣x1+4k，根据弦长公式，由丨AB丨=丨AD丨，即可求得x1=k﹣ ，根据三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得△ABD面积的最小值．