Question

【题目】已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x ， 若存在x0∈[1，2]使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[ ]
【解析】解：解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），

又∵由f（x）+g（x）=2﹣x，结合f（﹣x）+g（﹣x）=﹣f（x）+g（x）=2x，

∴f（x）=﹣ （2x﹣2﹣x），g（x）= （2x+2﹣x）．

等式af（x）+g（2x）=0，化简为﹣ （2x﹣2﹣x）+ （22x+2﹣2x）=0．

∵x∈[1，2]，∴ ≤2x﹣2﹣x≤ ，

令t=2x﹣2﹣x，则t＞0，因此将上面等式整理，得：a=t+ ，

函数h（t）=t+ 在[ ]递增， ≤t+ ≤ ，

则实数a的取值范围是[ ]，

所以答案是：[ ]．

【考点精析】利用函数奇偶性的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．