Question

17．用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大者，若x，y，z均为正数，则max{x²+y²，xy+z，$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}{•y}^{2}•z}}$}最小值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{2}$D
• D． $\frac{1}{\root{3}{4}\root{3}{{x}^{2}{•y}^{2}•z}}$

Answer 1

分析 记A=max{x²+y²，xy+z，$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}{•y}^{2}•z}}$}，则A≥x²+y²且A≥xy+z且A≥$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}{•y}^{2}•z}}$，由基本不等式和不等式的性质变形可得．

解答 解：记A=max{x²+y²，xy+z，$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}{•y}^{2}•z}}$}，
则A≥x²+y²，①
A≥xy+z，②
A≥$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}{•y}^{2}•z}}$，③
由①得$\sqrt{A}$≥$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$≥$\sqrt{2xy}$，④
由②得A≥2$\sqrt{xyz}$，⑤
由③得A³≥$\frac{1}{{x}^{2}{y}^{2}z}$，⑥
④×⑤可得${A}^{\frac{3}{2}}$≥2$\sqrt{2}$•$\sqrt{{x}^{2}{y}^{2}z}$，两边平方可得A³≥8x²y²z，⑦
⑥×⑦可得A⁶≥8，∴A≥$\sqrt{2}$，
∴max{x²+y²，xy+z，$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}{•y}^{2}•z}}$}的最小值为$\sqrt{2}$
故选：A．

点评 本题考查基本不等式求最值，变形是解决问题的关键，属中档题．