题目内容
已知a2+b2=2且c≤a+b恒成立，则c的范围是（ ）
| A、（-∞，-2] | ||||
B、（-∞，-
| ||||
C、[-
| ||||
D、（-∞，
|
分析：欲使c≤a+b恒成立，只须c小于等于a+b的最小值即可，可利用基本不等式a2+b2≥2ab，得到2（a2+b2）≥2ab+a2+b2=（a+b）2，从而可求得a+b的取值范围，即可得到最值从而求得c的范围．
解答：解：∵a2+b2=2，
∴由基本不等式a2+b2≥2ab，可得2（a2+b2）≥2ab+a2+b2=（a+b）2，
即（a+b）2≤2（a2+b2）=4，
∴-2≤a+b≤2，
故（a+b）min=-2，
若c≤a+b恒成立，则c≤（a+b）min，
∴c≤-2．
故选：A．
∴由基本不等式a2+b2≥2ab，可得2（a2+b2）≥2ab+a2+b2=（a+b）2，
即（a+b）2≤2（a2+b2）=4，
∴-2≤a+b≤2，
故（a+b）min=-2，
若c≤a+b恒成立，则c≤（a+b）min，
∴c≤-2．
故选：A．
点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，难点在于寻找已知条件a2+b2=2与所求a+b的取值范围之间的联系，即（a+b）2≤2（a2+b2），当然也可以利用圆的参数方程，借助三角函数的辅助角公式来解决，属于中档题．
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