Question

1．数列{a_n}中，a₁=0，且对任意k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，其公差为2k，则T_n=$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}}+\frac{{3}^{2}}{{a}_{3}}+$…+$\frac{4{n}^{2}}{{a}_{2n}}$=4n-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$．

Answer 1

分析 a₁=0，且对任意k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，其公差为2k，可得a_2k+1-a_2k-1=4k，于是a_2k-1=a₁+（a₃-a₁）+（a₅-a₃）+…+（a_2k-1-a_2k-3）=2k（k-1），a_2k=a_2k-1+2k=2k²．即可得出．

解答 解：∵a₁=0，且对任意k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，其公差为2k，
∴a_2k+1-a_2k-1=4k，
∴a_2k-1=a₁+（a₃-a₁）+（a₅-a₃）+…+（a_2k-1-a_2k-3）
=0+4+8+…+4（k-1）
=$\frac{k（0+4k-4）}{2}$=2k（k-1），
a_2k=a_2k-1+2k=2k²．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}-1}{2}，n=2k-1}\\{\frac{{n}^{2}}{2}，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*）．
当n=2k+1时，$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}}$=$\frac{2{n}^{2}}{{n}^{2}-1}$=2+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$，
当n=2k时，$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}}$=2．
∴T_n=$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}}+\frac{{3}^{2}}{{a}_{3}}+$…+$\frac{4{n}^{2}}{{a}_{2n}}$=2n+2（n-1）+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）$+…+$（\frac{1}{2n-2}-\frac{1}{2n}）$
=4n-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$．
故答案为：4n-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．