Question

13．已知点G是△ABC的重心，A（0，-2），B（0，2），在x轴上有一点M满足；|$\overrightarrow{MA}$|=|$\overrightarrow{MC}$|，$\overrightarrow{GM}$=λ$\overrightarrow{AB}$（λ∈R）．
（I）求点C的轨迹方程．
（Ⅱ）直线l与C的轨迹交于P，Q两，弦PQ的中点坐标为（-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$），求弦长|PQ|．

Answer 1

分析 （I）先设出C的坐标，则G点坐标可得，进而根据$\overrightarrow{GM}$=λ$\overrightarrow{AB}$判断出GM∥AB，根据表示出M的坐标，利用|$\overrightarrow{MA}$|=|$\overrightarrow{MC}$|，进而利用两点间的距离公式求得x和y的关系，点C的轨迹方程可得．
（Ⅱ）利用点差法，求出PQ的斜率，可得PQ的方程，与椭圆方程联立，可得弦长|PQ|．

解答 解：（I）设C（x，y），则G（$\frac{x}{3}$，$\frac{y}{3}$）．
∵$\overrightarrow{GM}$=λ$\overrightarrow{AB}$（λ∈R），∴GM∥AB．又M是x轴上一点，则M（$\frac{x}{3}$，0）．
又∵|$\overrightarrow{MA}$|=|$\overrightarrow{MC}$|，
∴$\sqrt{（\frac{x}{3}）^{2}+1}$=$\sqrt{（\frac{x}{3}-x）^{2}+{y}^{2}}$．
整理得$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1（x≠0）．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，y₁+y₂=$\frac{1}{2}$，
P，Q代入$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，作差整理可得$\frac{1}{3}$（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
∴PQ的方程为y-$\frac{1}{4}$=x+$\frac{3}{4}$，即y=x+1，
代入$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，整理可得2x²+3x=0，∴|PQ|=$\sqrt{2}•\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，正确运用向量知识是关键．