Question

12．已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=27，定义域为R的函数f（x）=$\frac{n-g（x）}{m+3g（x）}$是奇函数．
（Ⅰ）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=kx-g（x）在（0，1）上有零点，求k的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的t∈（1，4），不等式f（2t-3）+f（t-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），根据g（3）=27，定义域为R的函数f（x）=$\frac{n-g（x）}{m+3g（x）}$是奇函数即可解出；
（Ⅱ）h（x）=kx-g（x）在（0，1）上有零点，从而h（0）•h（1）＜0，
（Ⅲ）对任意的t∈R不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，则f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²）恒成立，因此t²-2t＞k-2t²，化为k＜3t²-2t在t∈R上恒成立?k＜（3t²-2t）_min，此函数为二次函数，求出最值即可

解答 解：（Ⅰ）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），则a³=27，∴a=3，∴g（x）=3^x，…（1分）∴$f（x）=\frac{{n-{3^x}}}{{m+{3^{x+1}}}}$，
因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即$\frac{n-1}{2+m}=0⇒n=1$，…（2分）
∴$f（x）=\frac{{1-{3^x}}}{{{3^{x+1}}+m}}$，又f（-1）=-f（1），∴$\frac{{1-\frac{1}{3}}}{m+1}=-\frac{1-3}{9+m}⇒m=3$；∴$f（x）=\frac{{1-{3^x}}}{{3+{3^{x+1}}}}$．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g（x）=3^x，又因h（x）=kx-g（x）在（0，1）上有零点，
从而h（0）•h（1）＜0，即（0-1）•（k-3）＜0，…（5分）
∴k-3＞0，∴k＞3，
∴k的取值范围为（3，+∞）．…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{{1-{3^x}}}{{3+{3^{x+1}}}}=-\frac{1}{3}•\frac{{{3^x}-1}}{{{3^x}+1}}=-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}•\frac{1}{{{3^x}+1}}$，-------（8分）
∴f（x）在R上为减函数（不证明不扣分）．…（9分）
又因f（x）是奇函数，f（2t-3）+f（t-k）＞0
所以f（2t-3）＞-f（t-k）=f（k-t），…10分
因f（x）为减函数，由上式得：2t-3＜k-t，
即对一切t∈（1，4），有3t-3＜k恒成立，…（11分）
令m（x）=3t-3，t∈[1，4]，易知m（x）在[1，4]上递增，所以y_max=3×4-3=9，
∴k≥9，
即实数k的取值范围为[9，+∞）．…（12分）

点评 本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题