题目内容

20．某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，如表是在某单位得到的数据：
 赞同  反对合计
男50 150200
女30 170 200
合计 80320 400
（Ⅰ）能否有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关？
（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出3人进行陈述发言，设发言的女士人数为X，求X的分布列和期望．

分析 （Ⅰ）根据题中的数据计算K2=6.25＞5.024，从而有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关
（Ⅱ）由已知得抽样比为$\frac{8}{80}=\frac{1}{10}$，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．根据题意，X服从超几何分布，$P（X=k）=\frac{{{C_3}^k{C_5}^{3-k}}}{{{C_8}^3}}$，k=0，1，2，3，由此能求出X的分布列和期望．

解答 解：（Ⅰ）根据题中的数据计算：
K2=$\frac{{400×{{（50×170-30×150）}^2}}}{80×320×200×200}=6.25$
因为6.25＞5.024，所以有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关
（Ⅱ）由已知得抽样比为$\frac{8}{80}=\frac{1}{10}$，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．
根据题意，X服从超几何分布，$P（X=k）=\frac{{{C_3}^k{C_5}^{3-k}}}{{{C_8}^3}}$，k=0，1，2，3…（8分）
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{5}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{5}{28}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{5}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{56}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{5}^{0}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{56}$，
∴X的分布列为：

X0123
P$\frac{5}{28}$$\frac{15}{28}$$\frac{15}{56}$$\frac{1}{56}$
X的数学期望为$E（X）=0×\frac{5}{28}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{1}{56}=\frac{9}{8}$．…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意超几何分布的性质的合理运用．

练习册系列答案
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A．2B．1C．$\frac{{2\sqrt{15}}}{3}$D．$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$

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