Question

9．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n•3^a_n（n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的数列{a_n}的通项公式代入b_n=a_n•3^a_n，求出数列{b_n}的通项公式，再利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）当n≥2时，S_n-1=$\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$，
a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$=n；
当n=1时，a₁=S₁=1，符合上式．
综上，a_n=n．
（Ⅱ）b_n=a_n•3^a=n•3ⁿ（n∈N⁺），
则数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
3T_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，
-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹，
-2T_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=$\frac{3}{4}$+（$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{4}$）•3ⁿ⁺¹，
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=$\frac{3}{4}$+（$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{4}$）•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．