Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点A（0，﹣3），点M满足|MA|＝2|MO|.

（1）求点M的轨迹方程；

（2）若圆C：（x﹣c）2+（y﹣c+1）2＝1，判断圆C上是否存在符合题意的M；

（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）是点M轨迹上的两个动点，点P关于点（0，1）的对称点为P1，点P关于直线y＝1的对称点为P2，如果直线QP1，QP2与y轴分别交于（0，a）和（0，b），问（a﹣1）（b﹣1）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）x2+（y﹣1）2＝4（2）存在（3）是定值，定值为

【解析】

（1）设，由代入可求的轨迹方程；（2）由已知可得圆心，圆与的轨迹有公共点，则可求的范围；（3）设，，可求，，进而可求，的表达式，即可求解.

（1）设M（x，y），由|MA|＝2|MO|可得x2+（y+3）2＝4（x2+y2）

化简可得M的轨迹方程为x2+（y﹣1）2＝4

（2）由已知可得圆心C（c，c﹣1），

若圆C与M的轨迹有公共点，则

解可得：

即时存在满足条件的M.

（3）∵P（x1，y1），

∴P1（﹣x1，2﹣y1），P2（x1，2﹣y1），

由题意可得，直线QP1，QP2的斜率一定存在且不为0，否则a或b不存在

∴QP1：y﹣y2，

∴，b

∴（a﹣1）（b﹣1）（1）

∵，.

∴（a﹣1）（b﹣1）4.