Question

16．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂．点P（a，b）满足|PF₂|=|F₁F₂|．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点，若|AB|=$\frac{32}{5}$，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）易知F₁（-c，0），F₂（c，0），从而可得|PF₂|=$\sqrt{（a-c）^{2}+{b}^{2}}$，从而可得$\sqrt{（a-c）^{2}+{b}^{2}}$=2c，从而化简可得a²-ac-2c²=0，从而解得；
（2）易知a=2c，b=$\sqrt{3}$c，从而写出PF₂的方程为：y=$\sqrt{3}$（x-c），从而与椭圆联立可得|AB|=$\sqrt{{\sqrt{3}}^{2}+1}$•|0-$\frac{8c}{5}$|=$\frac{32}{5}$，从而解得．

解答 解：（1）由题意知，F₁（-c，0），F₂（c，0）；
故|PF₂|=$\sqrt{（a-c）^{2}+{b}^{2}}$，
∵|PF₂|=|F₁F₂|，
∴$\sqrt{（a-c）^{2}+{b}^{2}}$=2c，
即（a-c）²+a²-c²=4c²；
化简得，a²-ac-2c²=0，
解得，a=2c或a=-c（舍去）；
故e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
（2）由题意知，a=2c，b=$\sqrt{3}$c，
故PF₂的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}c-0}{2c-c}$（x-c）=$\sqrt{3}$（x-c），
联立得，$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
化简可得，
5x²-8cx=0，
解得，x=0或x=$\frac{8c}{5}$；
故|AB|=$\sqrt{{\sqrt{3}}^{2}+1}$•|0-$\frac{8c}{5}$|=$\frac{32}{5}$，
故c=2，
故a=4，b=2$\sqrt{3}$，
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程的应用及直线与椭圆的位置关系的应用．