Question

已知点P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，过椭圆C的右焦点F₂(1,0)的直线l与椭圆C交于M，N两点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，W＝.试判断W是否为定值？若W为定值，请求出这个定值；若W不是定值，请说明理由．

Answer 1

解：(1)椭圆C的右焦点坐标为(1,0)，∴c＝1，椭圆C的左焦点坐标为(－1,0)，

可得2a＝

＝＋＝4，

解得a＝2，

∴b²＝a²－c²＝4－1＝3，

∴椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)①当直线斜率不存在时，|AB|²＝(2b)²＝4b²，|MN|＝，∴＝2a＝4.

②当直线斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，且M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)．

由得(3＋4k²)x²－8k²x＋4k²－12＝0，

设直线AB的方程为y＝kx(k≠0)，

由消去y，并整理，得x²＝，

设A(x₃，y₃)，B(x₄，y₄)，

则|AB|＝|x₃－x₄|＝4，

综上，W为定值4.