Question

【题目】对于定义在上的函数，若函数满足：

①在区间上单调递减，②存在常数p，使其值域为，则称函数是函数的“逼进函数”．

（1）判断函数是不是函数的“逼进函数”；

（2）求证：函数不是函数，的“逼进函数”

（3）若是函数的“逼进函数”，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）2.

【解析】

（1）由f（x）﹣g（x），化简整理，结合反比例函数的单调性和值域，即可判断；

（2）由指数函数和一次函数的单调性，可得满足①，说明不满足②，即可得证；

（3）由新定义，可得y＝xax为[0，+∞）的减函数，求得导数，由不等式恒成立思想，可得a的范围；再由值域为（0，1]，结合不等式恒成立思想可得a的范围，即可得到a的值．

（1） ，

可得在[0，+∞）递减，且，

，可得存在，函数y的值域为，

则函数是函数，的“逼进函数”；

（2）证明：，

由，在[0，+∞）递减，

则函数在[0，+∞）递减，

则函数在[0，+∞）的最大值为1；

由时，，时，，

则函数在[0，+∞）的值域为（-∞，1]，

即有函数不是函数，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；

（3）是函数，的“逼进函数”，

可得为[0，+∞）的减函数，

可得导数在[0，+∞）恒成立，

可得，

由x＞0时，，

则，即；

又在[0，+∞）的值域为（0，1]，

则，

x=0时，显然成立；

x＞0时，，

可得，即．

则a=2．