Question

【题目】已知，，顺次是椭圆：的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆的离心率，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）若斜率的直线过点，直线与椭圆交于，两点，试判断：以为直径的圆是否经过点，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1） （2）经过，证明见解析

【解析】

（1）根据题意，列出相应表达式，再结合，即可求解；

（2）可联立直线和椭圆的标准方程，结合韦达定理表示出两根和与积的关系，再由向量证明即可；

（1）解：由題意得，，，.

∴即，

设椭圆的半焦距为，得方程组，解得，

∴椭圆的方程为.

（2）方法一：以为直径的圆经过点.理由如下：

∵椭圆：，.直线的斜率，且过点.

∴直线：，

由消去，并整理得，

，直线与椭圆有两个交点.

设，，则，.

∵

.

∴以为直径的圆经过点.

方法二：同方法一，得，.

∴

.

设的中点为，则，.

∴.

∴以为直径的圆经过点.