Question

【题目】已知函数，函数的图象经过，其导函数的图象是斜率为，过定点的一条直线.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，不等式恒成立，求整数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上为减函数；

当时，在上为减函数，在上为增函数.

（2）2

【解析】

对求导，得到，按和进行分类讨论，利用导函数的正负，得到的单调性；（2）根据题意先得到，然后得到的解析式，设，按和分别讨论，利用得到的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于时，整数的最小值.

（1）函数的定义域是，，

当时，，所以在上为减函数，

当时，令，则，

当时，，为减函数，

当时，，为增函数，

综上，当时，在上为减函数；

当时，在上为减函数，在上为增函数.

（2）根据题意，，

设，代入，可得，

令，

所以.

当时，因为，所以.

所以在上是单调递增函数，

又因为，

所以关于x的不等式不能恒成立.

当时，，

令，得.

所以当时，；

当时，，

因此函数在上是增函数，在上是减函数.

故函数的最大值为.

令，因为，

又因为在上是减函数.

所以当时，.

所以整数的最小值为.