Question

已知函数y=2sin（2x+

π

4

）．
求（1）最小周期．
（2）单调递增区间和单调递减区间．
（3）对称轴方程和对称中心．
（4）判断奇偶性．
（5）若x∈[0，

π

2

]，求函数的值域，并求出当函数取得最大值时，自变量x的集合．

Answer 1

考点：复合三角函数的单调性,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）直接利用正弦函数的周期公式求出结果．
（2）直接利用整体思想求出函数的单调区间．
（3）直接利用整体思想求出对称轴和对称中心．
（4）利用f（-x）与-f（x）和f（x）是否相等确定奇偶性．
（5）利用函数的定义域确定函数的值域，并求出最值．

解答： 解：（1）函数y=2sin（2x+

π

4

），
则：T=

2π

2

=π
（2）令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ
所以函数的单调递增区间为：[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈Z）
令：

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ
所以函数的单调递减区间为：[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]（k∈Z）
（3）令：2x+

π

4

=kπ+

π

2

解得：x=

kπ

2

+

π

8

所以对称轴方程为：x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z）
令令：2x+

π

4

=kπ
解得：x=

kπ

2

-

π

8

所以：对称中心为：(

kπ

2

-

π

8

，0)（k∈Z）
（4）函数x∈R
但f（-x）≠-f（x）≠f（x）
所以；函数是非奇非偶函数．
（5）由于：0≤x≤

π

2

所以：

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1
则：-

2

≤sin(2x+

π

4

)≤2
即函数的值域为：[-

2

，2]
当2x+

π

4

=

π

2

时，
解得：x=

π

8

．
x的集合{x|x=

π

8

}

点评：本题考查的知识要点：重点考查函数的单调性函数的对称轴和对称中心，函数的奇偶性，及函数的值域，属于基础题型．