题目内容
设a是实数，f(x)=a-
(x∈R)．
（1）当f（x）为奇函数时，求a的值；
（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．
| 2 |
| 2x+1 |
（1）当f（x）为奇函数时，求a的值；
（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．
（1）∵f（x）为奇函数
∴f（0）=0，解得a=1；
（2）证明：设x1，x2∈R，x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）
=(a-
)-(a-
)
=
-
=
，
由于指数函数y=2x在R上是增函数，
且x1＜x2，所以2x1＜2x2即2x1-2x2＜0，
又由2x＞0，得2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），
所以，对于任意a，f（x）在R上为增函数．
∴f（0）=0，解得a=1；
（2）证明：设x1，x2∈R，x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）
=(a-
| 2 |
| 2x1+1 |
| 2 |
| 2x2+1 |
=
| 2 |
| 2x2+1 |
| 2 |
| 2x1+1 |
=
| 2(2x1-2x2) |
| (2x1+1)(2x2+1) |
由于指数函数y=2x在R上是增函数，
且x1＜x2，所以2x1＜2x2即2x1-2x2＜0，
又由2x＞0，得2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），
所以，对于任意a，f（x）在R上为增函数．
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