Question

设a是实数，f(x)=a-

2

1+2x

(x∈R)
（1）已知函数f(x)=a-

2

1+2x

(x∈R)是奇函数，求实数a的值．
（2）试证明：对于任意实数a，f（x）在R上为增函数．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的性质可得f（0）=0，代入数据解关于a的方程可得；
（2）设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，作差可判f（x₁）＜f（x₂），由单调性的定义可得．

解答：解：（1）由题意可得x∈R，函数为奇函数必有f（0）=0
代入数据可得a-

2

1+20

=0，解得a=1
（2）证明：设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
作差可得f(x1)-f(x2)=(a-

2

2x1+1

)-(a-

2

2x2+1

)
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
由于指数函数y=2^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，
即2x1-2x2＜0，
又由2^x＞0，得2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴对于任意a，f（x）在R上为增函数．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性，涉及定义法证明函数的单调性，属基础题．