Question

设a是实数，f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）试证明：对于任意a，f（x）在R上为单调函数；
（3）若函数f（x）为奇函数，且不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）为奇函数，故可得f（x）+f（-x）=0，由此方程求a的值；
（2）证明于任意a，f（x）在R上为单调函数，由定义法证明即可，设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，研究f（x₁）-f（x₂）的符号，根据单调性的定义判断出结果．
（3）因为f（x）在R上为增函数且为奇函数，由此可以将不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，转化为k•3^x＜-3^x+9^x+2即3^2x-（1+k）3^x+2＞对任意x∈R恒成立，再通过换元进一步转化为二次不等式恒成立的问题即可解出此时的恒成立的条件．

解答：解：（1）∵f(-x)=a-

2

2-x+1

=a-

2•2x

1+2x

，且f（x）+f（-x）=0
∴2a-

2(1+2x)

1+2x

=0，∴a=1（注：通过f（0）=0求也同样给分）
（2）证明：设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=(a-

2

2x1+1

)-(a-

2

2x2+1

)
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，∴(2x1-2x2)＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即∴f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在R上为增函数．
（3）因为f（x）在R上为增函数且为奇函数，
由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0得
f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2）
∴k•3^x＜-3^x+9^x+2即3^2x-（1+k）3^x+2＞对任意x∈R恒成立，
令t=3^x＞0，问题等价于t²-（1+k）t+2＞0，其对称轴x=

k+1

2

当

k+1

2

＜0即k＜-1时，f（0）=2＞0，符合题意，
当

k+1

2

≥0即对任意t＞0，f（t）＞0恒成立，等价于

k+1 2 ≥0 △=(1+k)2-8＜0

解得-1≤k＜-1+2

2

综上所述，当k＜-1+2

2

时，不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立．

点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，解题的关键是熟练掌握函数奇偶性的定义以及函数单调性的定义，还有它们的判断证明过程，第三小问函数的单调性与奇偶性相结合的一个典型题，综合性强，变形灵活，由于其解题规律相对固定，故学习时掌握好它的解题脉络即可心轻松解决此类题，题后注意总结一下解题的过程以及其中蕴含的固定规律．