Question

设a是实数，f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)．
（1）当f（x）为奇函数时，求a的值；
（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数在零处有意义可得f（0）=0，建立等量关系，求出a
（2）运用函数的定义判断证明函数的单调性，先在取两个值x₁，x₂后进行作差变形，确定符号，最后下结论即可．

解答：解：（1）∵f（x）为奇函数
∴f（0）=0，解得a=1；
（2）证明：设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=(a-

2

2x1+1

)-(a-

2

2x2+1

)
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
由于指数函数y=2^x在R上是增函数，
且x₁＜x₂，所以2x1＜2x2即2x1-2x2＜0，
又由2^x＞0，得2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
所以，对于任意a，f（x）在R上为增函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，函数是描述变量之间关系的数学模型，函数单调性是函数的“局部”性质，属于基础题．