Question

设a是实数，f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)，
（1）试证明：对于任意a，f（x）在R为增函数；
（2）试确定a的值，使f（x）为奇函数．

Answer 1

分析：（1）设x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，用作差法，有f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，结合指数函数的单调性分析可得f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x）的单调性且与a的值无关；
（2）根据题意，假设f（x）是奇函数，由奇函数的定义可得，f（-x）=-f（x），即a-

2

2-x+1

=-（a-

2

2x+1

），对其变形，解可得a的值，即可得答案．

解答：解：（1）证明：设x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（a-

1

2x1+1

）-（a-

1

2x2+1

）=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
又由y=2^x在R上为增函数，则2x1＞0，2x2＞0，
由x₁＜x₂，可得2x1-2x2＜0，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）为增函数，与a的值无关，

2

20+1

即对于任意a，f（x）在R为增函数；
（2）若f（x）为奇函数，且其定义域为R，
必有有f（-x）=-f（x），
即a-

2

2-x+1

=-（a-

2

2x+1

），变形可得2a=

2(2x+1)

2x+1

=2，
解可得，a=1，
即当a=1时，f（x）为奇函数．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断与应用，注意（1）中要体现f（x）的单调性与a的值无关．