Question

在△ABC中，，．
（1）求角C的大小；
（2）如果△ABC的最大边长为，求最小的边长．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据两角和的正切公式，得到tan（A+B）=1，结合三角形内角和与正切的诱导公式，得tanC=-1，可得角C的大小；
（2）因为锐角A、B满足tanA＞tanB，所以B为最小角，AC边为最小边．根据同角三角函数的关系，算出sinB=，结合正弦定理，即可算出最小的边AC长．
解答：解：（1）∵，，∴tan（A+B）===1，
∵C=π-（A+B），∴tanC=-tan（A+B）=-1．'
又∵0＜C＜π，∴C=．
（2）∵C=＞，∴AB边最大，即AB=，
又∵tanA＞tanB，A，B∈（0，），
所以B为最小角，AC边为最小边．
∵且B∈（0，），
∴sinB=（舍负）．
由=，得AC===1．
因此，最小的边AC=1．
点评：本题给出△ABC两个内角的正切值，求第三个角的大小并且在已知最大边情况下求最小边．考查了两角和的正切公式、正弦定理、诱导公式和同角三角函数基本关系等知识，属于中档题．