题目内容

在△ABC中，满足
AB
⊥
AC
，|
AB
|=3，|
AC
|=4，点M在线段BC上．
（1）M为BC中点，求
AM
•
BC
的值；
（2）若|
AM
|=
6
5
5
，求BM：BC的值．
分析：（1）由题意可得：
BC
= 
AC
-
AB
并且
AM
=
1
2
( 
AC
+
AB
)，可得
AM
•
BC
=
1
2
(|
AC
|2-|
AB
|2)，进而得到答案．
（2）设BM：BC=λ，可得|
AM
|2=[(1-λ)
AB
+λ
AC
]2=
36
5
，根据题意可得答案．
解答：解：（1）由题意可得：
BC
= 
AC
-
AB
，
又因为M为BC中点，所以
AM
=
1
2
( 
AC
+
AB
)，
所以
AM
•
BC
=
1
2
(
AC
+
AB
) (
AC
-
AB
)=
1
2
(|
AC
|2-|
AB
|2)=
7
2
．
（2）设BM：BC=λ
则
AM
=(1-λ)
AB
+λ
AC

∴|
AM
|2=[(1-λ)
AB
+λ
AC
]2=
36
5
，
因为
AB
⊥
AC
，|
AB
|=3，|
AC
|=4，
所以λ=
3
5
或
3
25

∴BM：BC=
3
5
或
3
25
．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握向量的三角形法则与平行四边形法则，以及平面向量的数量积运算．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC
（1）求角B的大小；
（2）若b=
7
，a+c=4，求△ABC的面积S．
在△ABC中，满足（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，且△ABC的外接圆半径为
2
．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求△ABC面积S的最大值，并判断此时的三角形形状．
（2007•河东区一模）在△ABC中，设a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为△ABC的面积，且满足条件4sinB•sin2（
π
4
+
B
2
）+cos2B=1+
3
．
（Ⅰ）求∠B的度数；
（Ⅱ）若a=4，S=5
3
，求b的值．
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足
a
sinA
=
b
3
cosB
，则B=
 
．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=
3
acosC．
（1）求角C的大小；
（2）当
3
sinA-cosB取得最大值时，请判断△ABC的形状．

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