Question

19．直线l过点P（$\frac{4}{3}$，2）
（1）若在坐标轴上截距绝对值相等，求直线1的方程．
（2）当与x轴、y轴的正方向分别交于A、B两点，△A0B的面积为6时．求直线1的方程．
（3）当与x轴、y轴的正方向分别交于A、B两点．|PA|•|PB|取最小时，求直线1的方程．

Answer 1

分析 （1）当横截距a=0时，纵截距b=0，当横截距a≠0时，纵截距b=-a，由此能求出直线l的方程．
（2）由已知设直线l的方程为y-2=k（x-$\frac{4}{3}$），k＜0，分别令y=0和x=0，求出A（$\frac{4}{3}-\frac{2}{k}$，0），B（0，2-$\frac{4}{3}k$），再由△A0B的面积为6，求出k，由此能求出直线l的方程．
（3）由A（$\frac{4}{3}-\frac{2}{k}$，0），B（0，2-$\frac{4}{3}k$），$\overrightarrow{PA}$=（-$\frac{2}{k}$，-2），$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{4}{3}k$）．由此利用均值定理求出|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|取最小值时k的值，由此能求出直线l的方程．

解答 解：（1）当横截距a=0时，纵截距b=0，
此时直线l过点P（$\frac{4}{3}$，2）和（0，0），
直线l的方程为：$\frac{y}{x}=\frac{2}{\frac{4}{3}}$，即3x-2y=0．
当横截距a≠0时，纵截距b=-a，
此时设直线l的方程为$\frac{x}{a}-\frac{y}{a}=1$，
把P（$\frac{4}{3}$，2）代入，得：$\frac{\frac{4}{3}}{a}-\frac{2}{a}=1$，解得a=-$\frac{2}{3}$，
∴直线方程为x-y+$\frac{2}{3}$=0．
综上，直线l的方程为3x-2y=0或x-y+$\frac{2}{3}$=0．
（2）由已知设直线l的方程为y-2=k（x-$\frac{4}{3}$），k＜0，
令y=0，得x=$\frac{4}{3}-\frac{2}{k}$，令x=0，得y=2-$\frac{4}{3}k$，
∴A（$\frac{4}{3}-\frac{2}{k}$，0），B（0，2-$\frac{4}{3}k$），
∵△A0B的面积为6，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×（\frac{4}{3}-\frac{2}{k}）×（2-\frac{4}{3}k）$=6，
整理，得4k²+15k+9=0，
解得k=-3或k=-$\frac{3}{4}$，
∴直线l的方程为y-2=-3（x-$\frac{4}{3}$），或y-2=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{4}{3}$），
即直线l的方程为3x+y-6=0或3x+4y-9=0．
（3）由已知设直线l的方程为y-2=k（x-$\frac{4}{3}$），k＜0，
令y=0，得x=$\frac{4}{3}-\frac{2}{k}$，令x=0，得y=2-$\frac{4}{3}k$，
∴A（$\frac{4}{3}-\frac{2}{k}$，0），B（0，2-$\frac{4}{3}k$），
$\overrightarrow{PA}$=（-$\frac{2}{k}$，-2），$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{4}{3}k$）．
∴|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{\frac{4}{{k}^{2}}+4}$•$\sqrt{\frac{16}{9}+\frac{16}{9}{k}^{2}}$=$\sqrt{\frac{64}{9{k}^{2}}+\frac{64{k}^{2}}{9}+\frac{128}{9}}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+{k}^{2}+2}$$≥\frac{8}{3}\sqrt{4}$=$\frac{16}{3}$，
当且仅当$\frac{1}{{k}^{2}}={k}^{2}$，即k=-1或k=1（舍）时，
即直线l的方程为y-2=-（x-$\frac{4}{3}$），即x+y-$\frac{10}{3}$=0时，|PA|•|PB|取最小值．

点评 本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量、直线方程、均值不等式等知识点的合理运用．