Question

8．已知A={x|x=m+n$\sqrt{2}$，m，n∈z}．
（1）设x₁=$\frac{1}{3}$-4$\sqrt{2}$，x₂=$\sqrt{9-4\sqrt{2}}$，x₃=（1-3$\sqrt{2}$）²，试判断x₁，x₂，x₃与A之间的关系；
 （2）任取x₁，x₂，∈A，试判断x₁+x₂，x₁x₂与A之间的关系；
（3）能否找到x₀∈A．使$\frac{1}{{x}_{0}}$∈A且x₀≠±1？

Answer 1

分析 （1）依集合A的定义依次判断即可；
（2）任取x₁，x₂∈A，则存在m，n，p，q∈Z，使x₁=m+n$\sqrt{2}$，x₂=p+q$\sqrt{2}$，从而依次可判断；
（3）存在，以x₀=1+$\sqrt{2}$为例即可．

解答 解：（1）x₁=$\frac{1}{3}$-4$\sqrt{2}$，则m=$\frac{1}{3}$，n=-4，故x₁∉A；
x₂=$\sqrt{9-4\sqrt{2}}$=-1+2$\sqrt{2}$，则m=-1，n=2，故x₂∈A；
x₃=（1-3$\sqrt{2}$）²=13-6$\sqrt{2}$，则m=13，n=-6，故x₃∈A；
（2）任取x₁，x₂∈A，则存在m，n，p，q∈Z，
使x₁=m+n$\sqrt{2}$，x₂=p+q$\sqrt{2}$，
故x₁+x₂=（m+p）+（n+q）$\sqrt{2}$∈A，
x₁x₂=（mp+2nq）+（mq+np）$\sqrt{2}$∈A；
（3）存在，举例如下，
x₀=1+$\sqrt{2}$，$\frac{1}{{x}_{0}}$=-1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了元素与集合的关系的判断．