Question

13．已知a，b是实数，且e＜a＜b，其中e是自然对数的底数，则a^b与b^a的大小关系是a^b＞b^a．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，x＞0，利用函数f（x）的单调性和对数的运算性质即可得到结论．

解答 解：构造函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，x＞0，
则f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，当x＞e时，f′（x）＜0，
即函数f（x）在x＞e时是减函数．
∵e＜a＜b，
∴$\frac{lna}{a}＞\frac{lnb}{b}$，即blna＞alnb，
即lna^b＞lnb^a，
则a^b＞b^a．
故答案为：a^b＞b^a．

点评 本题主要考查指数幂的大小比较，根据条件构造函数，利用函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强有一定的难度，是中档题．