Question

19．在四棱锥P-ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB=2AD，M，N分别为PB，PC中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B-AM-C的大小；
（Ⅲ）在BC上是否存在点E，使得EN⊥平面AMN？若存在，求$\frac{BE}{BC}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出MN∥BC∥AD，由此能证明MN∥平面PAD．
（Ⅱ）过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AM-C的大小．
（Ⅲ）设E（1，λ，0），则$\overrightarrow{EN}=（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}-λ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，由此利用向量法能求出在BC存在点E，使得EN⊥平面AMN，此时$\frac{BE}{BC}=\frac{1}{2}$．

解答 （本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）∵M，N分别是PB，PC中点
∴MN是△ABC的中位线
∴MN∥BC∥AD
又∵AD?平面PAD，MN?平面PAD
所以MN∥平面PAD．…．（4分）
解：（Ⅱ）过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，
因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，
如图建立空间直角坐标系，
设AB=2，则A（-1，0，0），C（1，1，0），
M（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），
B（1，0，0），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），
则$\overrightarrow{AC}=（2，1，0）$，$\overrightarrow{AM}=（\frac{3}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$
设平面CAM法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{2{x_1}+{y_1}=0}\\{\frac{3}{2}{x_1}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}{z_1}=0}\end{array}}\right.$，
令x₁=1，则${y_1}=-2，{z_1}=-\sqrt{3}$，即$\overrightarrow{n_1}=（1，-2，-\sqrt{3}）$
平面ABM法向量$\overrightarrow{n_2}=（0，1，0）$
所以，二面角B-AM-C的余弦值$|{cosθ}|=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
因为二面角B-AM-C是锐二面角，
所以二面角B-AM-C等于45°…．（10分）
（Ⅲ）存在点E，使得EN⊥平面AMN…．（11分）
设E（1，λ，0），则$\overrightarrow{EN}=（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}-λ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{EN}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{EN}•\overrightarrow{MN}=0}\end{array}}\right.$可得$λ=\frac{1}{2}$，
所以在BC存在点E，使得EN⊥平面AMN，
此时$\frac{BE}{BC}=\frac{1}{2}$．…．（14分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．