Question

【题目】双曲线的左右焦点分别为，，为坐标原点.为曲线右支上的点，点在外角平分线上，且.若恰为顶角为的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

延长交的延长线于点，根据几何关系，求得点坐标，代入双曲线方程可得齐次式，则问题得解.

延长交的延长线于点，连接，过作，如下所示：

不妨设，

因为，且为的角平分线，故可得，

故可得，且为的中点；

因为为顶角的等腰三角形，故可得，

由余弦定理可得，

在中，因为分别为的中点，故；

根据双曲线定义可知：，即；

又；

联立可得；

因为为顶角的等腰三角形

故在直角三角形中，

则，由勾股定理可得

故可得点坐标为，即，代入双曲线方程可得：

，

整理得：，

同除可得，

分解因式可得，

解得或（舍去负根），

则.

故选：D.