Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析 （2）

【解析】

（1）求得函数的导数，分和，两种情况讨论，即可求得函数的单调区间；

（2）①当时，根据，求得在上只有一个零点；②当时，分、和，三种情况讨论，结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解.

（1）由题意，函数的定义域为，

且，

①当时，令，即.解得；

令，即，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增；

②当时，由，得或

（i）若，则，所以在上单调递增；

（ii）若，则，令，可得或；

令，解得，

所以函数在，上单调递增，在上单调递减；

（iii）若，则，令，解得或；

令，解得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）①当时，函数，令得，

又知当时，，当时，，

此时在上有且只有一个零点；

②当时，

（i）当时，由（1）知在上单调递增，，

此时在上有且只有一个零点；

（ii）当时，由（1）结合的单调性，，只需讨论的符号，

当时，由，可得在上有且只有一个零点；

当时时，由，可得在上无零点；

（iii）若由（1）结合的单调性，，

，此时在上有且只有一个零点，

综上所述，实数的取值范围.