题目内容
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率为
，
是椭圆上一点，且
面积的最大值为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）过
的直线交椭圆于
两点，求
的取值范围；
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）设椭圆的半焦距为c，由题意结合椭圆的性质可得
，解方程后即可得解；
（2）按照直线
的斜率是否存在分类讨论；当直线的斜率存在，设的方程为
，
，
，联立方程结合韦达定理可得
、
、
，再由平面向量数量积的坐标运算可得
，即可得解.
（1）设椭圆的半焦距为c，
由题知，解得
，
所以椭圆方程为；
（2）由题意
，
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为
，
不妨设
，
，此时
，
，
所以
；
②若直线的斜率存在，设的方程为，，，
则由
，消去
得
，
，
所以
，
，
又
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
；
综上，
的取值范围为.
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