Question

如图1，直角梯形中，，，，点为线段上异于的点，且，沿将面折起，使平面平面，如图2.

（1）求证：平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题考查立体几何中的线面、面面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识；考查运算求解能力、空间想象能力；考查数形结合思想、化归与转化等数学思想．第一问，法一，由，利用线面平行的判定得面，再利用面面平行的判定得面面，最后利用面面平行的性质得面；法二，建立空间直角坐标系，要证明线面平行，只需证AB与面DFC的法向量垂直即可；第二问，建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积公式计算体积，当体积最大值时，AE=1，再利用向量法求平面ABC和平面AEFD的法向量，利用夹角公式求二面角的余弦值.

试题解析：（1）证明：∵，面，面，

∴面，　　　　　　　　　　 2分

同理面， 3分

又，∴面面， 4分

又面，∴面. 5分

（2）法一：∵面面，又，面面，

∴面.

以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立

空间直角坐标系， 　 7分

设，则，

，

∴当时，三棱锥体积最大. 9分

∵， ∴， 10分

设平面的法向量， ，　∴，

令，得平面的一个法向量， 11分

又面的一个法向量为，

∴， 12分　

∴平面与平面所成锐二面角的余弦是 . 13分

法二：∵面面，又，面面，

∴面

以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直

角坐标系． 2分

设，则.

（1）， 3分

面的一个法向量为， 4分

，∴，又面，

∴面. 7分

（2）同法一．

考点：立体几何中的线面、面面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用.