Question

3．已知数列{a_n}满足a₁=1，2${\;}^{{a}_{n+1}}$=3×2${\;}^{{a}_{n}}$+2（n∈N*），若a_n＞4log₂3恒成立，则n的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 7
• C． 6
• D． 5

Answer 1

分析 2${\;}^{{a}_{n+1}}$=3×2${\;}^{{a}_{n}}$+2（n∈N*），2${\;}^{{a}_{n+1}}$+1=3×（2${\;}^{{a}_{n}}$+1），${2}^{{a}_{1}}$+1=2．利用等比数列的通项公式可得2${\;}^{{a}_{n}}$．根据a_n＞4log₂3恒成立，可得${2}^{{a}_{n}}$＞3⁴，代入即可得出．

解答 解：∵2${\;}^{{a}_{n+1}}$=3×2${\;}^{{a}_{n}}$+2（n∈N*），
∴2${\;}^{{a}_{n+1}}$+1=3×（2${\;}^{{a}_{n}}$+1），${2}^{{a}_{1}}$+1=2．
∴数列{2${\;}^{{a}_{n}}$+1}是等比数列，首项为2，公比为3．
∴2${\;}^{{a}_{n}}$+1=2×3^n-1，即2${\;}^{{a}_{n}}$=2×3^n-1-1．
∵a_n＞4log₂3恒成立，
∴${2}^{{a}_{n}}$＞3⁴，∴2×3^n-1-1＞3⁴．
经过验证：n≥5
∴n的最小值为5．
故选：D．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．