Question

已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论函数在[上的单调性；
（Ⅱ）如果，是函数的两个零点，为函数的导数，证明：.

Answer 1

（Ⅰ）当时，函数在上单调递减；（Ⅱ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）不是常见的函数的单调性问题，可以采用求导得方法.通过定导数的正负来确定单调性.在本题中，求导得，但发现还是无法直接判断其正负.这时注意到在上单调递减，可以得到其最大值，即，而，所以，从而得函数在上单调递减；（Ⅱ）通过，是函数的两个零点把用表示出来，代入中，由分成与两段分别定其正负.易知为负，则化成，再将视为整体，通过研究的单调性确定的正负，从而最终得到.本题中通过求导来研究的单调性，由其最值确定的正负.其中要注意的定义域为，从而这个隐含范围.
试题解析：（Ⅰ），     1分
易知在上单调递减，        2分
∴当时，.      3分
当时，在上恒成立.
∴当时，函数在上单调递减.    5分
（Ⅱ），是函数的两个零点，
  （1）
  （2）    6分
由（2）-（1）得：
，    8分
，所以
，
将代入化简得：    9分
因为，故只要研究的符号
    10分
令，则，且，
令，                       12分
所以，
当时，恒成立，所以在上单调递增，所以当时，
，所以，又，故，所以，即，又
，所以.    14分