题目内容
在四面体ABCD中，已知AC⊥BD，∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°，求证：平面ABC⊥平面ACD．考点：平面与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：作BE⊥AC，垂足为E，连结DE．由已知条件得AC⊥面BDE，由勾股定理得BD⊥DE，由此能证明平面ABC⊥平面ACD．
解答：
解：作BE⊥AC，垂足为E，连结DE．
∵BE⊥AC，BD⊥AC，BE∩BD=B，
∴AC⊥面BDE，又DE?平面BDE，∴AC⊥DE，
∴∠DEB是平面ABC和平面ACD所成的二面角的平面角，
设DE=a，∵∠CAD=∠BAC=45°，∠DEA=∠BEA=90°，
∴AE=BE=a，AD=AB=
a，
∵∠BAD=60°，∴BD=
a，
∴BD2=BE2+DE2，∴BE⊥DE，
∴∠DEB=90°，
∴平面ABC⊥平面ACD．
∵BE⊥AC，BD⊥AC，BE∩BD=B，
∴AC⊥面BDE，又DE?平面BDE，∴AC⊥DE，
∴∠DEB是平面ABC和平面ACD所成的二面角的平面角，
设DE=a，∵∠CAD=∠BAC=45°，∠DEA=∠BEA=90°，
∴AE=BE=a，AD=AB=
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∵∠BAD=60°，∴BD=
| 2 |
∴BD2=BE2+DE2，∴BE⊥DE，
∴∠DEB=90°，
∴平面ABC⊥平面ACD．
点评：本题考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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