Question

设函数f（x）=e^x（sinx-1）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）当x∈[-π，π]时，求函数的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，令f′（x）＞0，从而求出函数f（x）的递增区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=e^x（sinx+cosx-1），从而求出f（x）的单调区间，进而求出函数的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=e^x（sinx+cosx-1），
令f′（x）＞0，解得：2kπ＜x＜2kπ+

π

2

，（k∈Z），
∴f（x）在（2kπ，2kπ+

π

2

）递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=e^x（sinx+cosx-1），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜

π

2

，
令f′（x）＜0，解得：-π＜x＜0，

π

2

＜x＜π，
∴f（x）在[-π，0），（

π

2

，π]递减，在（0，

π

2

）递增，
∴f（x）_极小值=f（0）=0，f（x）_极大值=f（

π

2

）=0，
又∵f（-π）=-e^π，f（π）=-e^π，
∴f（x）_最大值=f（

π

2

）=0，f（x）_最小值=f（π）=-e^π．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．