Question

6．若数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=4-a_n，则数列{a_n}的前n项和为（　　）

• A． S_n=2n
• B． S_n=2n-1
• C． S_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n，n为偶数}\\{2n-1，n为奇数}\end{array}\right.$
• D． S_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n，n为奇数}\\{2n-1，n为偶数}\end{array}\right.$

Answer 1

分析 由已知得到a₂=3，且数列{a_n}的所有奇数项构成常数列{1}，所有偶数项构成常数列{3}，然后对n分类求得数列{a_n}的前n项和．

解答 解：由a₁=1，a_n+1=4-a_n，得a₂=4-a₁=3，
且a_n+2=4-a_n+1=4-（4-a_n）=a_n，
∴数列{a_n}的所有奇数项构成常数列{1}，所有偶数项构成常数列{3}，
当n为奇数时，S_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（a₂+a₄+…+a_n-1）=$\frac{n+1}{2}×1+\frac{n-1}{2}×3=2n-1$；
当n为偶数时，S_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（a₂+a₄+…+a_n）=$\frac{n}{2}×1+\frac{n}{2}×3=2n$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n，n为偶数}\\{2n-1，n为奇数}\end{array}\right.$．
故选：C．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的分组求和，是中档题．