Question

设实数x，y满足约束条件

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y≤2

，则u=

2x+y

x+2y

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：u=

2x+y

x+2y

=

2+ y x

1+2× y x

，设k=

y

x

，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：u=

2x+y

x+2y

=

2+ y x

1+2× y x

，设k=

y

x

，
则u=

2+ y x

1+2× y x

=

2+k

1+2k

=

1 2 (1+2k)+ 3 2

1+2k

=

1

2

+

3 2

1+2k

，
作出不等式组对应的平面区域如图：则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象可知OA的斜率最大，OB的斜率最小，
由

y=2 x+2y-5=0

，解得

x=1 y=2

，即A（1，2），此时k=2，
由

x-y-2=0 x+2y-5=0

，解得

x=3 y=1

，即B（3，1），此时k=

1

3

，
则

1

3

≤k≤2，
则

4

5

≤u≤

7

5

，
故u=

2x+y

x+2y

的取值范围是[

4

5

，

7

5

]，
故答案为：[

4

5

，

7

5

]

点评：本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键．