Question

已知函数f（x）=e^x（x+1）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（-∞，0），都有f（x）＞k，求k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f′（1）的值，再求出f（1），然后直接利用直线方程的点斜式得切线方程；
（Ⅱ）利用导数求出函数f（x）在（-∞，0）上的最小值，根据f（x）＞k，可得k小于f（x）在（-∞，0）上的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x（x+1），
∴f′（x）=e^x（x+1）+e^x=e^x（x+2），
∴f′（0）=e⁰•（0+2）=2，
又f（0）=1，
∴曲线曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：
y-1=2（x-0），即2x-y+1=0；
（Ⅱ）令f′（x）=0，得x=-2，
当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

∴f（x）在（-∞，-2）上递减，在（-2，0）上递增，
∴f（x）在（-∞，0）上的最小值是f（-2）=-e^-2．
∴-e^-2＞k，即k＜-e^-2．
∴k的取值范围是（-∞，-e^-2）．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．